Barycentric Coordinates 重心坐标#

在一个二维三角形ABC内，某点 $(x,y)$ 满足：

\alpha A+\beta B +\gamma C = (x,y)

其中 $\alpha + \beta + \gamma = 1$ ，则称 $(\alpha,\beta,\gamma)$ 为该点的重心坐标

当 $\alpha , \beta , \gamma \geq 0$ 时，则 $(x,y)$ 在三角形内部
三角形重心的重心坐标： $(1/3,1/3,1/3)$

重心坐标插值#

设 $\triangle{ABC}$ 中 $A,B,C$ 点各自有属性 $V_1,V_2,V_3$ ，则三角形内某一点的属性：

V = \alpha V_1 +\beta V_2 +\gamma V_3

其中 $\alpha + \beta + \gamma = 1$ ，则称 $(\alpha,\beta,\gamma)$ 为该点的重心坐标
由于重心坐标不能保证投影后坐标不变，因此理论上重心坐标的插值必须在3维空间中插值。但实际上，在投影后的2维三角形上进行重心坐标插值有许多好处

GPU 在光栅化阶段主要需要回答两个问题：

屏幕上的某个像素采样点是否位于三角形内？ => 重心坐标可解

如果位于内部，应该如何插值该点的深度、颜色、纹理坐标等属性？

实际上，我们一样可以在2维进行重心坐标插值，只需要对2维的重心坐标作一个修正，就可以还原为3维的重心坐标。
这就是透视正确插值

透视正确插值#

设屏幕空间计算出的重心坐标为：

(\lambda_A,\lambda_B,\lambda_C)

三个顶点在透视投影后的齐次坐标的 $w$ 分量分别为

w_A,w_B,w_C

则对应的透视修正为：

\beta_i = \frac{\lambda_i/w_i}{\lambda_A/w_A+\lambda_B/w_B+\lambda_C/w_C}

这就是修正后的重心坐标，对应的就是三维空间中真正的重心坐标

纹理#

纹理上某个点的 $(u,v)$ 即是将像素的颜色设为对应纹理坐标的颜色
texel 纹理上的像素

纹理过小#

导致一个texel映射到多个pixel
解决方案：双线性插值

双线性插值#

纹理过大#

本质：屏幕像素相对于纹理的采样频率太低
会导致“走样”问题解决方案：

抗锯齿（MSAA、DLSS）
MipMap

MipMap#

做范围查询
先预生成不同分辨率图，在像素映射纹素时查询。
生成MipMap时会不断像素除以2来获得新的像素图，直到不能再分。MipMap会分级，原先的纹理即为第0级 求MipMap Level D：

L = max(\sqrt{(\frac{du}{dx})^2+(\frac{dv}{dx})^2},\sqrt{(\frac{du}{dy})^2+(\frac{dv}{dy})^2})

D = \log_{2}L

举例：假设1个像素映射到4个纹素，这时候应该在 $D=2$ 级的更粗糙的纹理图上找对应的像素（这个纹理图上的一个像素由上一级的相邻4个像素平均合并而成）

三线性插值#

问题：当需要查询MipMap1.8层对应的纹素时，该怎么办？
解决：先在上下夹着的两层分别作双线性插值，再在层与层之间作一次线性插值

其他过滤方法#

RipMap 各向异性过滤：水平和竖直都分别压缩
EWA Filtering

纹理的应用#

纹理的本质：内存+对内存作各种形式的区域查询
纹理不只可以存颜色，还可以存高度，存法线等等信息

环境光贴图#

只记录光源方向，没有光源位置信息

球贴图：环境光记录到球上，使用时展开球面

存在两极的扭曲问题

立方体贴图：将环境光记录到立方体上，便于展开

TBN矩阵#

将世界空间变换到切线空间
设 $T\space B\space N$ 分别为世界坐标下法线、切线和副切线向量：

TBN = \begin{bmatrix} T_x & B_x & N_x \\ T_y & B_y & N_y \\ T_z & B_z & N_z \end{bmatrix}

TBN^{-1} = TBN^T

Bump map 凹凸贴图#

通过修改法线来影响着色，通过纹理定义点相对高度的移动，对模型法线作一个扰动
计算（三维）：

原有的表面法线 $n(p) = (0,0,1)$
计算两个切向量：

dp/du = c_1[h(u+1)-h(u)]

dp/dv = c_2[h(v+1)-h(v)]

新的法线为 $(-dp/du,-dp/dv,1)$ ，然后归一化

需要将世界空间变换到切线空间

Displacement map 位移贴图#

不同于凹凸贴图，位移贴图会真正改变模型的顶点位置

要求：模型相对于贴图要足够细致（不然就会“走样”）

其他应用#

预计算环境光纹理
体渲染

音乐

音乐

Barycentric Coordinates 重心坐标#

重心坐标插值#

透视正确插值#

纹理#

纹理过小#

双线性插值#

纹理过大#

MipMap#

三线性插值#

其他过滤方法#

纹理的应用#

环境光贴图#

TBN矩阵#

Bump map 凹凸贴图#

Displacement map 位移贴图#

其他应用#

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音乐

Shading 着色3

Barycentric Coordinates 重心坐标#

重心坐标插值#

透视正确插值#

纹理#

纹理过小#

双线性插值#

纹理过大#

MipMap#

三线性插值#

其他过滤方法#

纹理的应用#

环境光贴图#

TBN矩阵#

Bump map 凹凸贴图#

Displacement map 位移贴图#

其他应用#

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