三维齐次坐标下变换的矩阵#

Scale#

S(s_x,s_y,s_z)=\begin{bmatrix} s_x&0&0&0\\0&s_y&0&0\\0&0&s_z&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}

T(t_x,t_y,t_z)=\begin{bmatrix} 1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1 \end{bmatrix}

R_x(\alpha) = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&cos\alpha&-sin\alpha&0\\0&sin\alpha&cos\alpha&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}

R_y(\alpha) = \begin{bmatrix} cos\alpha&0&sin\alpha&0\\0&1&0&0\\-sin\alpha&0&cos\alpha&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}

由于指定了z轴方向为 $z=x\times y$ ，因此 $x\times z=-y$

R_z(\alpha) = \begin{bmatrix} cos\alpha&-sin\alpha&0&0\\ sin\alpha&cos\alpha&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}

任意的3D旋转： $R_{xyz}(\alpha,\beta,\gamma)=R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)$
罗德里格斯旋转公式： $R(\bm{n},\alpha)=cos(\alpha)\bm{I}+(1-cos(\alpha))\bm{n}\otimes\bm{n^T}+sin(\alpha)\begin{bmatrix} 0&-n_z&n_y\\n_z&0&-n_x\\-n_y&n_x&0 \end{bmatrix}$

将相机和模型一起移动，相机移动到世界坐标的原点

相机需要的要素：
1. Position $\vec{e}$
2. Look-at/gaze direction $\hat{g}$
3. Up direction $\hat{t}$
相机规定：
1. $\hat{g}$ 为-Z方向
2. $\hat{t}$ 为Y方向
相机变换：
1.平移回原点2.调整角度（ $g→-Z，t→Y，g\times t→X$ ）

$M_{view}=R_{view}T_{view}$

T_{view}=\begin{bmatrix} 1&0&0&-x_e\\ 0&1&0&-y_e\\ 0&0&1&-z_e\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}

R_{view}=\begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times \hat{t}}&y_{\hat{g}\times \hat{t}}& z_{\hat{g}\times \hat{t}}&0\\x_t&y_t&z_t&0\\x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}

可以先求 $R^{-1}_{view}$ ，再根据旋转矩阵为正交矩阵的性质求 $R_{view}=(R^{-1}_{view})^T$

M_{ortho}=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l}&0&0&0\\0&\frac{2}{t-b}&0&0\\0&0&\frac{2}{n-f}&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&-\frac{r+l}{2}\\0&1&0&-\frac{t+b}{2}\\0&0&1&-\frac{n+f}{2}\\0&0&0&1 \end{bmatrix}

将模型从空间坐标映射到摄像机近平面的坐标

规定挤压后的远平面z方向不变

规定近平面挤压后不变

规定挤压后远平面中心点位置不变

M_{persp→ortho} = \begin{bmatrix} n&0&0&0\\0&n&0&0\\0&0&n+f&-nf\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}

M_{persp} =M_{ortho}M_{persp→ortho}

$y'=\frac{n}{z}y\quad x'=\frac{n}{z}x$

\begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}\implies \begin{bmatrix} nx/z\\ ny/z\\ {unknown} \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} nx\\ ny\\ {unknown} \\ z \end{bmatrix}

M_{persp→ortho}\begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} nx\\ by\\ {unknown}\\ z \end{bmatrix}\implies M_{persp→ortho} = \begin{bmatrix} n&0&0&0\\0&n&0&0\\{?}&{?}&{?}&{?}\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}

又因为近平面的性质（近平面上任何一个点变换后坐标都不变）:

M_{persp→ortho}\begin{bmatrix} x\\ y\\ n\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} nx \\ ny \\ n^2 \\ n \end{bmatrix}

故 $M_{persp→ortho}$ 第三行:

\begin{bmatrix} 0&0&A&B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ n\\ 1 \end{bmatrix}=n^2\implies An+B = n^2

又因为远平面中心点的性质（远平面的中心点的坐标值不变）:

M_{persp→ortho}\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ f\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\ f^2\\ f \end{bmatrix}\implies Af+B = f^2

故: $A=n+f\quad B=-nf$ 即:

M_{persp→ortho} = \begin{bmatrix} n&0&0&0\\0&n&0&0\\0&0&n+f&-nf\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}